XXVI. Личность Лобачевского и его семейная жизнь. Книги лобачевский


Лобачевский. Содержание - ОСНОВНЫЕ ДАТЫ ЖИЗНИ И ДЕЯТЕЛЬНОСТИ НИКОЛАЯ ИВАНОВИЧА ЛОБАЧЕВСКОГО

Механика гиперболического пространства нашла свое приложение в теории относительности. Эйнштейн создал новую механику больших скоростей, по отношению к которой механика Ньютона является предельным случаем, соответствующим бесконечно медленным движениям.

Представления Лобачевского о пространстве и времени, об их неразрывной связи с материей, о том, что «силы всё производят одни: движение, скорость, время, массу, даже расстояния и углы», стали краеугольным камнем теории относительности; учение о кривизне пространства также является развитием идей неэвклидовой геометрии. Эти идеи глубоко проникли не только в математику, в анализ и в теорию функций, в механику и физику, но и в космологию и в другие отрасли знания. Советский ученый В. А. Фок применил геометрию Лобачевского при изучении свойств атома водорода. Сложение скоростей в специальной теории относительности получает истолкование как сложение отрезков в геометрии Лобачевского. «Очень трудно очертить все развитие, которое получили идеи Лобачевского, исчерпать все применения, которые его творчество получило в математике и в естествознании, — писал советский математик В. Ф. Коган. — Лобачевский занимает одно из самых первых мест во всей истории мировой науки».

Лобачевского всегда волновала загадка мирового пространства. Какова его геометрия, какова физическая природа? Он-то хорошо понимал, что свойства пространства и времени не сводятся только к метрике, он привык смотреть на бесконечную вселенную как на связное, единое целое, где действуют все открытые и еще не открытые законы, вместе взятые. Для него мир был огромной лабораторией.

Космологических моделей вселенной существует великое множество. Каждая из них претендует на объяснение мира в целом. Есть модели конечной вселенной, разбегающейся вселенной, иерархически построенной вселенной, статической, динамической. Но после Лобачевского во всех этих моделях вынуждены признавать полную зависимость геометрического от физического. Так, геометрические свойства пространства в теории относительности ставятся в зависимость от структуры полей тяготения. Геометрия мирового пространства носит неэвклидов характер: оно искривлено. Любопытно, что даже близ земной поверхности геометрия пространства является неэвклидовой, хотя отклонения незначительны. «Искривление» пространства вблизи тяжелых материальных тел воспринимается нами как поле тяготения.

Можем ли мы дать однозначный ответ на вопрос: какой из трех геометрий подчиняется мир в целом?

Нет, не можем. Геометрические свойства пространства относительны, в разных системах отсчета они различны. Если материя во вселенной распределена так, что плотность ее всюду одинакова, то тут должна иметь место геометрия Эвклида; если материя распределена неравномерно — в центре минимальная плотность, а на окраинах данной области достигает максимума, — то такое пространство обладает отрицательной кривизной, геометрия такого пространства есть геометрия Лобачевского. Там, где плотность материи максимальна в центре данной области, пространство имеет положительную кривизну, здесь господствует эллиптическая геометрия Римана.

Мы можем пока судить лишь об ограниченной части вселенной. Есть все основания считать, что пространство нашей метагалактики имеет отрицательную кривизну, то есть геометрию нашего участка мироздания можно рассматривать, как геометрию Лобачевского.

Лобачевского сравнивают с Колумбом, с Коперником, называют гением первого ранга.

В ответ на это профессор Каган заметил:

«Я беру на себя смелость утверждать, что было легче остановить солнце, что легче было двинуть землю, чем уменьшить сумму углов в треугольнике, свести параллели к схождению и раздвинуть перпендикуляры к прямой на расхождение!»

…Над Волгой, над степями и лесами России плывет ночь. По черным, литым из чугуна плитам с обозначением годов неторопливо ступает Лобачевский. Он наклонил голову. В складке между изогнутыми бровями зажата огромная мысль. О чем он думает в звездные часы человечества? О многом. О своей геометрии, о необъятности мира. О любимом отечестве, которое в своем величии достигнет такой высоты, на какую еще не восходило ни одно племя человеческое Земли.

ОСНОВНЫЕ ДАТЫ ЖИЗНИ И ДЕЯТЕЛЬНОСТИ НИКОЛАЯ ИВАНОВИЧА ЛОБАЧЕВСКОГО

1792, 20 ноября (1 декабря) — В Нижнем Новгороде (г. Горький) родился Н. И. Лобачевский.

1802, 5 ноября — Поступил в Казанскую гимназию.

1807, 14 февраля — Переведен в студенты университета.

1811, 3 августа — Получил степень магистра.

1814, 26 марта — Адъюнкт физико-математических наук.

1816, 7 июля — Экстраординарный профессор.

1818, 23 мая — Член училищного комитета.

1820, 19 ноября — Избран деканом физико-математического факультета. (Избирался неоднократно.)

1822, 24 мая — Ординарный профессор.

1822, 16 марта — Член строительного комитета (с 1825 — председатель).

1826, 11(23) февраля — Сделал в заседании физико-математического факультета доклад, содержащий начала неэвклидовой геометрии.

1827, 30 июля — Утвержден ректором Казанского университета. Непрерывно исполнял должность ректора до 14 августа 1846 года.

1829–1830 гг. — Опубликовал в журнале «Казанский вестник» мемуар «О началах геометрии», в котором впервые появилось в печати изложение неэвклидовой геометрии.

1832, 16 октября — Женитьба на Варваре Алексеевне Моисеевой.

1841, 23 июля — Заслуженный профессор.

1845, 18 апреля — Вступил в управление Казанским учебным округом.

1846, 14 августа — Назначен помощником попечителя округа.

1855 г. -— В «Ученых записках» опубликовал последнюю свою работу — «Пангеометрия».

1855, 12 ноября — Уволен от службы с причислением к министерству.

1856, 12 (24) февраля — Смерть Н. И. Лобачевского от паралича легких.

КРАТКАЯ БИБЛИОГРАФИЯ

Н. И. Лобачевский, Полное собрание сочинений в пяти томах. М.—Л., 1946–1961. Избранные труды по геометрии. М., изд-во Академии наук СССР, 1956.

П. С. Александров, Н. И. Лобачевский — великий русский математик. М., изд-во «Знание», 1956.

A. В. Васильев, Николай Иванович Лобачевский. СПб., 1914.

Б. М. Вахтин, Великий русский математик Н. И. Лобачевский. М., Учпедгиз, 1956.

Георгий Игнациус, Ветви геометрии. М., изд-во «Знание», 1963.

B. Ф. Каган, Лобачевский. М.—Л., изд-во Академии наук СССР, 1948.

В. Ф. Каган, Очерки по геометрии. Изд-во Московского университета, 1963.

Э. Кольман. Великий русский мыслитель Н. И. Лобачевский. Госполитиздат, 1956.

Б. Л. Лаптев, Г. Ф. Рыбкин, Николай Иванович Лобачевский, «Люди русской науки». М., изд-во физико-математической литературы, 1961.

Н. В. Марков, Н. И. Лобачевский — великий русский ученый. М., изд-во «Знание», 1956.

Л. Б. Модзалевский, Материалы для биографии Н. И. Лобачевского. М.—Л., 1948.

А. П. Норден, Гаусс и Лобачевский. М., «Историко-математические исследования», вып. IX, 1956.

Сборник «Николай Иванович Лобачевский» (статьи П. С. Александрова и А. Н. Колмогорова). М.—Л., 1943.

Мариэтта Шагинян, Семья Ульяновых. М., изд-во «Молодая гвардия», 1963.

C. А. Яновская, Передовые идеи Н. И. Лобачевского — орудие борьбы против идеализма в математике. М.—Л., 1950.

Иллюстрации

Вид г. Казани. Гравюра 30-х годов XIX века работы В. Турина.

www.booklot.ru

XXII. Сочинения, не относящиеся к геометрии

Мы уже указывали, что в период, когда Лобачевский управлял университетом, появились все опубликованные им сочинения, кроме заключительной работы «Пангеометрия». Почти все исследователи, изучавшие сочинения Н. И. Лобачевского, интересовались, конечно, прежде всего его геометрическими работами. Хорошо известна также его «Алгебра», так как она была выпущена отдельным изданием. Что касается остальных сочинений, не относящихся к геометрии, то нужно определенно сказать, что они до настоящего времени еще недостаточно изучены. Такое изучение требует значительной и притом коллективной исследовательской работы. Эта работа выполняется в настоящее время в связи с изданием полного собрания сочинений Лобачевского, в котором IV том, уже вышедший в свет, содержит «Алгебру», а V том будет содержать остальные сочинения Лобачевского, не относящиеся к геометрии. «Алгебра» была подготовлена к изданию покойным Н. Г. Чеботаревым. Им составлена и вводная статья, содержащая историко-библиографические сведения об этом сочинении и краткий обзор его содержания. Мы пользовались ею при составлении настоящего реферата об этом сочинении.

Сочинение «Алгебра или вычисление конечных» было подготовлено Лобачевским к изданию еще в 1825 г. В архиве Казанского университета сохранилось дело о представлении этого сочинения к печати. 19 сентября 1825 г. Лобачевский направил рукопись в физико-математическое отделение и ходатайствовал о его напечатании в качестве учебника для гимназий. В совет поступил также отзыв профессора Никольского, в котором сказано: «Хотя по объему своему сия алгебра [содержит] только 86 четвертин мелкого письма, но автор в сем небольшом пространстве поместил все нужные статьи и обработал их своим способом с такою точностью и всеобщностью, что трудно сказать, что бы еще к ним прибавить следовало. А потому она с большою пользою может быть введена в употребление в гимназиях». Совет баллотировал (20 голосов за и 2 против), одобрил рукопись к печатанию и представил ее на благоусмотрение попечителя. Однако задержка на этот раз произошла в самом университете. Чем это было вызвано, остается не вполне выясненным. Повидимому, Лобачевский настаивал на том, чтобы деньги, вырученные от продажи книги, по покрытии расходов по изданию, поступили в пользу автора. Не согласился ли ректор (К. Ф. Фукс) с этим справедливым требованием автора, или были другие мотивы задержки, но ходатайство совета о напечатании этой книги не было отослано попечителю. Нелегко давалось Лобачевскому опубликование его сочинений. По истечении почти года Лобачевский выразил в совете свой протест против такого отношения к его сочинению, сказав, что сожалеет о напрасно затраченном труде. Представленная Лобачевским рукопись сохранилась в архиве при указанном деле. Она содержит четырнадцать глав. С течением времени Лобачевский, очевидно, пришел к убеждению, что сочинение это в качестве руководства для гимназии не подходит, несколько его переработал, значительно дополнил и приспособил для преподавания в университете. В 1834 г. он выпустил его в свет под приведенным выше названием — «Алгебра или вычисление конечных».

На обороте титульного листа имеется пометка о разрешении к печати цензурой (от 18 февраля 1832 г.) Эта пометка интересна в двух отношениях. Во первых, она свидетельствует, что книга, хотя и отпечатанная в Казанской университетской типографии, была издана не университетом (по видимому, автором), потому что университетские издания не нуждались в разрешении цензуры. Во-вторых, цензором, подписавшим это разрешение, был старый школьный и университетский товарищ Лобачевского С. Т. Аксаков, служивший тогда в цензурном комитете, позднее знаменитый писатель.

К прежнему тексту книги было прибавлено теперь еще четыре главы (прежняя глава XIV включена здесь в последнюю главу более общего содержания). Вот как характеризует сам Лобачевский содержание «Алгебры» в своем предисловии:

«Всякого рода вычисление делается с топ целью, чтобы найти неизвестное; а потому правила для вычислений соединяются в одно учение — аналитику. Ее можно разделить на арифметику, алгебру и дифференциальное исчисление. В арифметике начинают с примеров на числах; потом, соблюдая постепенность в понятиях, вместо чисел, чтобы разуметь их произвольными, в алгебре употребляют буквы, избегая однакож способа бесконечно малых, или границ, как такового, который требует более усилий от ума и составляет уже последнюю и высшую часть аналитики. В этом смысле алгебра будет также наука, которую Ньютон назвал общая арифметика, чтобы отличить от арифметики на числах, и которую столько же справедливо можно назвать вычисление конечных, в противоложность с дифференциальным, или вычислением бесконечно малых, где являются неоспоримы новые начала, под каким бы видом пи старались их представлять, желая соблюсти строгость, эту существенную принадлежность всякого математического учения».

Хотя Лобачевский, таким образом, отличительной чертой алгебры считал то, что она оперирует только «конечными», т. е. избегает бесконечно малых, во второй половине курса, главным образом в теории бесконечных рядов («строк»), он не может обойтись без бесконечно малых.

Из тех двух сочинений, которые в то время имели для построения курса алгебры руководящее значение,— «Алгебры» Эйлера1 и «Курса алгебраического анализа» Коши2—сочинение Лобачевского стоит гораздо ближе к книге Эйлера, хотя по содержанию значительно богаче ее. Первые тринадцать глав содержат формальную теорию арифметических действий над положительными и отрицательными числами и алгебраическими выражениями, решение уравнений первой степени, учение о степенях и корнях, о логарифмах. Глава XIII посвящена тригонометрическим функциям, которые Лобачевский определяет при помощи показательных функций известными формулами Эйлера. Глава XV содержит начала теории конечных разностей, а две последние главы (XVI и XVII) посвящены решению уравнений высших степеней.

Предисловие к рукописи, первоначально представленной Лобачевским, начинается следующими словами:

«Новая книга начал математики не должна напрасно умножать число существующих, потому что их и без того уже много. Читателю довольно слегка пробежать мою алгебру, чтобы открыть в ней большое различие со всеми изданными до сих пор и не думать более, чтобы намерение было только собрать и повторить то, что только сказано другими. Далее он не замедлит увидеть, что, кроме старания сделать лучший выбор, я прибавил еще и много нового».

Оригинальность мысли, стремление и умение внести новые точки зрения и новые факты во все, чем он занимался, составляли характерную черту Лобачевского. Но прежде чем указать, что нового и своеобразного внесено Лобачевским в курс алгебры, мы приведем еще один отрывок из того же предисловия к сохранившейся рукописи, характерный для его педагогических взглядов:

«Два года читается алгебра в Казанской гимназии под моим руководством, и в последнее время я имел всю причину восхищаться успехами детей. Видел, что они тверды в правилах, понимая все, совершенно уверенные в своих знаниях, отвечают со рвением на вопросы, с намерением даже сысканные, разрешают их легко, не подозревая, что в них может скрываться затруднение, достаточное занять взрослых. Так я уверен в той истине, что понятия не должны приобретаться навыком; но должны быть переданы с первого раза во всей их обширности, с точностью, ясностью и определенностью, а потом уже утвердиться упражнением, чтобы могли через то глубже запечатлеться в памяти и с легкостью быть применяемы в дальнейших исследованиях. Вот главное правило в искусстве преподавать математику, которой трудность единственно в отвлеченности и обширности понятий, которая, чтобы быть легкой, требует от нас только того, чтобы мы не переставали судить, употребляя знаки, как сокращения для выражения умственных представлений. Такому правилу, однакож, не следовали до сих пор в началах, потому что думали облегчить учение детей, упражняя их преимущественно примерами решения задач, представляя им самим отвлекать для сего нужные понятия и со временем только возвратиться назад, чтобы пополнить то, что было некогда сказано им недостаточно из недоверчивости к их способностям. Требование столь чрезмерное, что не всякий и тот мог его исполнить совершенно, кому после удавалось уходить далеко от начал. Затем готов я думать, что есть ли математика, столь свойственная уму человеческому, остается для многих безуспешной, то это по справедливости должно приписать недостаткам в искусстве и способе преподавания. Не утверждая с дерзостью, чтобы я постигнул совершенство в последнем, но хочу надеяться, что избрал прямую Дорогу к цели, впрочем ожидаю подтверждения от других».

Что же внесено Лобачевским нового в курс алгебры? Указания на это мы находим уже в предисловии к печатному изданию алгебры. Излагая решение системы линейных уравнений, Лобачевский дает очень своеобразный прием для составления определителя любого порядка. По указанию Н. Г. Чеботарева, этот прием, сущность которого заключается в предварительной замене индексов показателями, был впервые опубликован Коши в 1815 г. Нет, однако, основания сомневаться в том, что Лобачевскому, который приписывает этот прием себе, работа Коши не была известна. Лобачевский сам указывает, что ему еще «не случалось видеть сочинение Штурма (об отделении корней уравнения), хотя мемуар Штурма был опубликован в 1829 г. В ст. 232 Лобачевский говорит: «Общее решение уравнений далее четвертой степени еще до сих пор не найдено»; ему, таким образом, еще не известен мемуар Абеля, также относящийся к 1829 г., в котором установлена невозможность общего решения уравнений выше 5-й степени в радикалах. Не исключена, впрочем, и возможность того, что Лобачевский не был полностью убежден в справедливости полученного Абелем результата; он вызывал, как известно, недоверие и у Гаусса (см. ниже, стр. 388).

В теории двучленных уравнений Лобачевский дает усовершенствованный прием для вычисления так называемых гауссовых периодов. Этот прием был им ранее опубликован в «Ученых записках». Мы уже упоминали об этой работе (стр. 66).

Немалый интерес, как указывает Чеботарев, представляют также принадлежащие Лобачевскому новые выводы многих известных фактов, несомненно оригинальные и часто более изящные, чем другие выводы. Отметим среди них прекрасные элементарные выводы биномиального ряда и ряда для логарифма, а также построение элементов теории определителей. Далее представляют интерес его выводы решений уравнений 3-й и 4-й степеней, а также весьма простой вывод Ньютоновых формул для степеней сумм, но наибольшее значение имеет предложенный Лобачевским в главе XVII прием вычисления корней алгебраического уравнения. В настоящее время этот прием, получивший широкое распространение, известен под названием «метода Греффе». Между тем, мемуар Греффе, в котором этот способ разработай, опубликован позже (1837), чем «Алгебра» Лобачевского. С огорчением нужно указать, что этот приоритет Лобачевского был впервые указан не русскими авторами, а английскими учеными Уиттекером и Робинсоном 3. Н. Г. Чеботарев заканчивает свой обзор «Алгебры» Лобачевского следующими словами: «Лобачевский первый опубликовал в России курс высшей алгебры; книга его очень оригинальна и в свое время несомненно представляла собой выдающееся произведение математической литературы. Конечно, Лобачевский вошел в историю не за «Алгебру». Но в ней оп тоже проявил свой талант и свою яркую индивидуальность».

Обращаясь к остальным работам Лобачевского, не относящимся к геометрии, мы вынуждены ограничиться только краткими указаниями их содержания. Можно надеяться, что компетентная их оценка не заставит себя ждать.

Две из этих работ не столько по содержанию, сколько по своему возникновению находятся на рубеже геометрии и других отделов математики.

Выше было указано, что сочинение «Новые начала» содержит соображения, относящиеся к установлению вероятной ошибки, происходящей при решении треугольников при помощи логарифмов. Эти рассуждении в несколько переработанном виде Лобачевский, как указано выше, опубликовал в 1842 г. на французском языке в журнале Крелля.

Второй мемуар, до некоторой степени примыкающий к сочинению «Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам» (см. стр. 267), опубликован Лобачевским в 1852 г. в «Ученых записках Казанского университета» под заглавием «О значении некоторых определенных интегралов». В 1855 г. этот мемуар был опубликован Лобачевским также на немецком языке в так называемом «Архиве Эрмана»4. Хотя вычисление ряда определенных интегралов выполнено в этой работе без помощи геометрии, но не подлежит сомнению, что к этой теме Лобачевского привели многообразные вычисления определенных интегралов, которые он производил средствами «воображаемой геометрии».

Далее, три мемуара посвящены учению о сходимости бесконечных рядов.

Лобачевский начинает с тригонометрических рядов, которые в то время занимали умы математиков. Его не удовлетворяют рассуждения относительно сходимости этих рядов, предложенные Коши, Дирихле и Дирксеном. В 1834 г. он посвящает этому вопросу мемуар «Об исчезании тригонометрических строк» (он помещен в «Ученых записках Казанского университета»).

В следующем, 1835 г. Лобачевский помещает так же в «Ученых записках» обширное исследование, посвященное общей теории сходимости рядов: «Способ уверяться в исчезании бесконечных строк и приближаться к значениям функций от весьма больших чисел».

Основная задача, которую Лобачевский здесь перед собой ставит, заключается в установлении критерия сходимости в том случае, когда отношение двух последовательных членов ряда стремится к единице. К этому же вопросу Лобачевский возвращается затем в 1841 г. В виде приложения к изданию наблюдений Метеорологической обсерватории Казанского университета5, которым руководил профессор Э. Кнорр, Лобачевский помещает мемуар «Ueber die Convergenz der unendlichen Reihem6. Этот мемуар в 1842 г. был направлен министром народного просвещения и президентом Академии Наук физико-математическому отделению Академии с просьбой дать отзыв об этой работе. Собрание отделения и на этот раз поручило дать отзыв об этом труде академику Остроградскому. Очень возможно, что инициатива этого принадлежала Мусину-Пушкину. Обстановка была уже другая. Если бы Остроградский ознакомился с появившейся в 1840 г. работой Лобачевского «Geometrische Untersuchungen», то он, конечно, не столкнулся бы с трудностями в усвоении его идей. Но Остроградский остался верен себе. В заседании 10 июля он сделал доклад, что, согласно желанию министра и президента, он прочел мемуар о сходимости рядов и нашел, что эта новая работа Лобачевского сходна с его старыми работами; автор здесь пренебрегает первыми началами точного рассуждения, как бы умышленно затрудняя возможность следовать за ним, и эти недостатки ничем не искупаются — ни новизной результатов, ни простотою в изложении того, что уже известно. Ввиду этого Остроградский считает, что этот мемуар не может заслужить одобрение Академии.

Приведем следующую выдержку из письменного рапорта Остроградского: «Академия поручила мне рассмотреть мемуар о сходимости рядов и дать о нем отчет. Автор этого мемуара, г-н Лобачевский, ректор Казанского университета, уже известен, по правде говоря, с довольно невыгодной стороны, новой геометрией, которую он называет воображаемой, достаточно объемистым трактатом об алгебре и несколькими диссертациями о различных вопросах математического анализа. Мемуар, представленный моему рассмотрению, не содействует изменению репутации автора»7. Между тем, менее чем через полгода после этого Лобачевский, по предложению Гаусса, был избран членом Геттингенской академии (см. выше, стр. 301).

Классической проблеме механики посвящен мемуар, опубликованный Лобачевским в 1834 г. в «Ученых записках Московского университета»: «Условные уравнения для движения и положения главных осей обращения в твердой системе». Мемуар содержит своеобразный вывод уравнений движения твердого тела и основных свойств главных осей вращения.

В июне 1842 г. происходило полное солнечное затмение. Для его наблюдения Казанским университетом была снаряжена экспедиция в Пензу в составе астронома наблюдателя Ляпунова, профессора физики Кнорра и Лобачевского. В том же 1842 г. Лобачевский опубликовал в «Ученых записках Казанского университета» отчет об этой экспедиции «Полное затмение солнца в Пензе 26 июня 1842 г.». Отчет содержит, кроме изложения деятельности экспедиции, обзор взглядов на сущность солнечной короны.

Особняком стоят две работы Лобачевского, не находящиеся в прямой связи с его научными интересами. Первая из них опубликована им еще в 1828 г. в журнале «Казанский вестник»: «О резонансе или взаимном колебании воздушных столбов». Эта статья представляет собою только реферат работы английского физика Уитстона.8

Вторая работа представляет собой отзыв о докторской диссертации А. Ф. Попова, составленный Лобачевским в 1845 г. Она помещена в виде приложения к печатному изданию этой диссертации под заглавием «Подробный разбор рассуждения, представленного магистром А. Ф. Поповым под названием «Об интегрировании дифференциальных уравнений гидродинамики, приведенных к линейному виду». По этому отзыву Попов получил степень доктора чистой математики. Сам Лобачевский этой степени никогда не был удостоен.

Все эти работы, конечно, не имеют того значения, которое приобрели геометрические открытия Лобачевского. Но многие из них содержат идеи, весьма своеобразные для того времени. Так, Лобачевский, по видимому, первый отличал непрерывную функцию от дифференцируемой; он первый оперирует понятием, по существу не отличающимся от равномерной непрерывности: как уже указано выше, он дал способ приближенного решения алгебраических уравнений, мало отличающийся от получившего распространение способа, несправедливо называемого «способом Греффе». Нужно еще раз определенно сказать, что эти работы Лобачевского до сих пор очень мало изучены. Но несомненно, что печать своеобразной оригинальной мысли лежит на всем, что он писал; а тематика обнаруживает многообразие его научных интересов.

Наконец, две статьи, опубликованные Лобачевским, не относятся к математическим наукам; отметим их здесь, хотя мы уже о них упоминали выше. Это — предисловие к первой книжке «Ученых записок, издаваемых Казанским университетом» за 1834 г. и «Речь о важнейших предметах воспитания», произнесенная 5 июля 1828 г. (опубликованная в «Казанском вестнике», кн. VIII, 1832).

1L Euler. Vollstandige Anleitung zur Algebra. St.-Petersburg, 1802. 2А. Сauсhy. Cours d’analyse algebrique. Paris, 1821. 3См. Е. Т. Wittaker and G. RоЬinsоn. The calculus of observations. London, 1924. См. об этом статью Н. Н. Парфентьева, воспроизведенную в т. IV Полного собрания сочинений Н. И. Лобачевского, стр. 432. Имеется и русский перевод этой книги. Э. Уиттекер и Г. Робинсон. Математическая обработка результатов наблюдений, Л. — М., 1933. 4«Archiv fur die wissenschaftliche К unde von Russland», heraus-gegeben von A. Erman, Bd. 14. 5«Meteorologische Beobaclitungen aus dem Lehrbezirk der Kaiserlichen Russischen Universitat Kasan». 1841. 6«0 сходимости бесконечных рядов». 7Л. Б. Модзалевский. Лобачевский, стр. 446. 8Wheatstone. Ou the resonances or reciprocated vibrations on columns of air. Qaurterly Journal, 1828,

historylib.org

XXVI. Личность Лобачевского и его семейная жизнь

Об облике Лобачевского, внешнем и моральном, сообщают многочисленные воспоминания его детей, родственников, сослуживцев, общественных деятелей. Содержащиеся в них сведения нередко противоречивы, составлены в различное время по памяти, относятся к разным периодам его жизни. При всем том они дают отчетливое представление о его образе.

Юность Лобачевский провел в условиях очень ограниченных средств. Получив звание адъюнкта, он, по рассказу его сына1, вместе с братом своим Алексеем Ивановичем, стал вести более широкий, даже светский образ жизни. Николай Иванович был в то время живым, бодрым, веселым и общительным человеком; лицом он очень походил на мать, Прасковью Александровну. Однако напряженная работа и тяжелые переживания скоро изменили его облик. В среднем возрасте, сообщает Н. П. Вагнер, «Николай Иванович был человек высокого роста, худощавый, несколько сутуловатый, с головой, почти всегда опущенной вниз, что придавало ему задумчивый вид. На этой гениальной голове была целая шапка густых темнорусых волос, которые слегка курчавились п торчали вихрами во все стороны. Под этими волосами кожа и мускулы были необыкновенно подвижны, так что Николай Иванович мог надвигать свои полосы почти до бровей. В последние годы его жизни они совсем поседели не столько от возраста, сколько от горя и жизненных невзгод. Глубокий взгляд его темносерых глаз был постоянно угрюмым, задумчивым, а сдвинутые брови его расправлялись в очень редкие минуты веселого расположения, минуты, в которые Лобачевский поражал слушавших его необыкновенным добродушным юмором.

Характер его был удивительно ровным, речь тихой. Он говорил плавно, но медленно, как бы обдумывая каждое слово. Во всех его словах сквозила, если можно так выразиться, необыкновенная рассудительность». Сообщения других авторов мало отличаются от этого.

Все авторы единодушно указывают на благожелательную отзывчивость, внимание к людям, с которыми он приходил в соприкосновение, особенно к тем, которые обнаруживали интерес к научной работе. Это подтверждается многими эпизодами. Самым характерным из них было его участие в судьбе И. А. Больцани. Это был молодой итальянец, который прибыл в Россию со странствующим итальянским книгопродавцем Бациаро. Этот книготорговец провел некоторое время в Казани; лавку его охотно посещали научные работники. Однажды А. Ф. Попов при посещении магазина застал Больцани за математической книгой. Присмотревшись, он увидел, что мальчик читает «Механику» Пуассона, сочинение отнюдь не легкое. Как оказалось, он действительно понимал не все, пропускал то, что ему было трудно, но все же читал Пуассона. Попов обратил на него внимание Лобачевского, который им заинтересовался, устроил ему возможность систематически учиться. Больцани скоро поступил в университет и окончил его магистром. Он достиг звания профессора и вел преподавание по кафедре физики.

Уже почти в сорокалетием возрасте (в 1832 г.) Николай Иванович женился на молодой девушке Варваре Алексеевне Моисеевой, принадлежавшей к одному из наиболее видных дворянских семейств Казани. П. П. Перцов в своих воспоминаниях рассказывает, что Симонов и Лобачевский часто бывали вместе в семье Моисеевых. Дочь Моисеева Варвара, видимо, была влюблена в Лобачевского, но она была очень нехороша собой. Симонов рассказывает, что он в холостой компании не раз советовал Лобачевскому жениться на ней, но Лобачевский в ответ отшучивался. Привязался ли он в конце концов действительно к Варваре Алексеевне или при приближении к пятому десятку стала уже сказываться склонность к более обеспеченному существованию, к другому укладу жизни, — сказать трудно. Авторы воспоминаний говорят об этом различно.

Жена принесла в семью значительные средства, главным образом в виде трех имений в различных губерниях и большого трехэтажного дома в Казани на Проломной улице. Лобачевские вели широкий образ жизни. «Дом наш,— рассказывает Н. Н. Лобачевский,— был всегда полон отборным обществом. Повара считались лучшими». Варвара Алексеевна была образованной женщиной; дом Лобачевских был открыт для всех.

И при всем том в своей семейной жизни Лобачевский не был счастлив. Об этом согласно рассказывают, можно сказать, все воспоминания. «Жена его,— говорит Перцов,— помимо того, что была некрасива, оказалась ни к чему не способной, даже домашним хозяйством не занималась. Как-то странно было слышать, что Николай Иванович сам заказывал кушанья к столу и даже сам разливал суп за обедом. Обыкновенно разливает хозяйка, но в доме Лобачевских было наоборот: хозяйка сидела, как гостья, а хозяин, серьезный и к старости молчаливый человек, большой ложкой разливал суп по тарелкам гостей». Но дело было, конечно, не в этих внешних мелочах. Суть заключалась в том, что характеры супругов были совершенно различны. «Тогда как Николай Иванович отличался хладнокровием, спокойствием и рассудительностью,— рассказывает Н. П. Вагнер,— у Варвары Алексеевны был необыкновенно живой и вспыльчивый нрав.

Случалось не раз, что она резко и долго выговаривала своему супругу за какую-нибудь неловкость, и во все это время Николай Иванович спокойно ходил по комнате взад и вперед, покуривая свою трубку с длинным чубуком».2 Однако нередко эти разногласия переходили в острые споры.

Ухудшались Постепенно и условия жизни. Уже в конце 30-х годов материальное положение Лобачевских пошатнулось. В письмах Лобачевского к И. Е. Великопольскому, брату Варвары Алексеевны по матери, слышатся настойчивые жалобы на нужду в деньгах. Поскольку можно судить по воспоминаниям сына Лобачевского и по сохранившимся письмам Николая Ивановича к Великопольскому3, это ухудшение материального положения Лобачевских, которое позже очень обострилось, произошло по следующим причинам. Так как управление небольшими имениями, находившимися в различных губерниях, было очень затруднительно, то Лобачевские решили эти имения продать и приобрести одно имение вблизи Казани. И. Е. Великопольский был доверенным лицом, при посредстве которого производилась продажа имений Варвары Алексеевны. Часть денег, поступивших по одной продаже, была прислана Лобачевским, и на эти средства они приобрели вблизи Казани, на Волге, небольшую деревню «Беловежская слободка». Это имело для Лобачевского еще то значение, что дало ему возможность заняться сельским хозяйством, которое его очень занимало и действительно служило прекрасным отвлечением от напряженной умственной и административной работы. Ко всякому делу, за которое Лобачевский принимался, он относился с большим увлечением. Он решил устроить в своей деревне настоящее культурное хозяйство. Он выстроил дом, флигель, прекрасные амбары, каретники, каменную ригу и овчарню; развел скот, удобрял землю, разбил сад, построил мельницу и даже плотину, чтобы использовать воду горных ключей. Лобачевский вложил в это дело такую же энергию, как и в университетское строительство.

Интерес к сельскому хозяйству, как мы знаем, не был чужд Лобачевскому. Он был активным членом Экономического общества; деятельность его в этом обществе была очень многосторонней и сосредоточивалась главным образом на вопросах сельского хозяйства. Приходится удивляться той разносторонности интересов, тому вниманию и труду, который вкладывал в это дело Лобачевский. По поручению общества он делал доклады о способе кормления скота, о посеве хлебных и технических культур, о хранении картофеля зимой, об устройстве водяных мельниц. Трудно даже представить себе, как мог он совместить это с научными исследованиями, которые он вел, со строительными работами, которыми он был занят в это время. Во всяком случае, он внес в управление собственным имением технические познания, которые он считал необходимым осуществить на практике в сельском хозяйстве.

Между тем имение еще не было оплачено, а от Великопольского деньги не приходили. Это был человек совсем другого уклада; он много жил в столице, был театралом, даже поэтом, страстным игроком, широко расходовал средства. И деньги Лобачевского уплыли вместе с его собственным имуществом: как видно из одного официального документа, приложенного к переписке, В. А. Лобачевской пришлось даже его выручать. Чтобы выйти из затруднительного положения, пришлось заложить имение, а затем даже дом в Казани. Очень возможно, что размах, который Лобачевский взял в своем хозяйстве, и без того не соответствовал ни его средствам, ни размеру имения. Соседи, привыкшие жить по старине, злорадствовали и немало отравляли Лобачевскому жизнь.

С прекращением службы в университете положение значительно ухудшилось. Уменьшилось содержание, которое Лобачевский получал по службе. Хотя Лобачевский все еще числился на службе, Молоствов настоял, чтобы он освободил казенную квартиру; правда, он ходатайствовал о предоставлении Лобачевскому квартирных денег, но это ходатайство удовлетворено не было. Лобачевскому пришлось переехать в свой дом, что снизило его доходность. Это вызвало затруднения в уплате процентов по закладным. Николай Иванович этого не предусмотрел, в газетах появилось объявление о продаже дома для погашения задолженности. Варвара Алексеевна, которой услужливые друзья поспешили принести объявление, была этим очень удручена. Она бросилась к мужу с газетой в руках, осыпая его упреками. Различного рода запрещения на имущество Лобачевских накладывались неоднократно и публиковались. Это очень отравляло их жизнь. На этот раз пришлось сделать заем у частного лица, что очень осложнило положение. Позднее, уже после смерти Николая Ивановича «Слободку» пришлось продать.

Но материальные затруднения отнюдь не были самым тяжелым из испытаний, выпавших на долю Лобачевского в его семейной жизни. Смерть не раз входила в его дом, унося его детей, причиняя ему тяжелое горе.

Как это ни удивительно, но мы не знаем в точности, как велика была семья Лобачевских в различное время Установить это не так просто. Дочь Лобачевского В. Н. Ахлопкова в своих воспоминаниях говорит, что родители прижили 15 детей; совсем несообразную цифру (18 детей) указывает сын Лобачевского Николай. По-видимому, некоторые из детей погибли в очень раннем возрасте, может быть, даже при рождении. Но и число выживших детей было довольно значительно: по указаниям в послужном списке Лобачевского, их было семь: четыре сына и три дочери. Дети были нездоровые, одна из дочерей, Надежда, умерла очень рано. Вскоре после ухода Лобачевского из университета заболел старший его сын Алексей, его любимец, очень на него похожий. Заболел он туберкулезом легких, все усилия спасти его были тщетны; он умер на руках своего товарища Владимирского. Лобачевский очень тяжело переживал эту утрату. Сама Варвара Алексеевна незадолго до этого перенесла тяжелую болезнь. Во время гибели старшего сына она была беременна; по-видимому, в связи с этим несчастьем она родила болезненного недоразвитого сына, который однако дожил до тридцати лет. Но и второй его сын Николай принес мало радости родителям. Он не окончил университета, перешел на военную службу, которая тоже, по-видимому, проходила неудачно4. Все эти переживания тяжело отразились на Лобачевском.

Когда-то веселый, всегда живой и бодрый, Николай Иванович состарился, даже быстро одряхлел. Вне всякого сомнения, вынужденное бездействие этому много способствовало. Лобачевский всегда с большим вниманием, даже с предупредительностью относился ко всем, кто имел к нему нужду — к товарищам, к подчиненным, может быть, даже более всего к студентам; об этом, как уже указывалось, свидетельствуют многочисленные эпизоды, о которых рассказывают посвященные ему воспоминания. Теперь он чувствовал себя оставленным почти всеми, с кем прежде приводила его в соприкосновение работа, кто прежде так охотно посещал его гостеприимный дом. Не выпуская изо рта своей длинной трубки, он сидел угрюмый и мрачный. Ужаснее всего было то, что он стал терять зрение. Часто это ставят в связь с его бисерным почерком. Конечно, это обстоятельство могло иметь некоторое значение, но главная причина была не в этом. Непрерывная работа, постоянное умственное напряжение и тяжелые переживания, не прекращавшиеся, можно сказать, в течение всей его жизни, вызвали ранний склероз; этим объясняются и другие явления, которые вскоре обнаружились. Изредка только то или иное проявление к нему внимания, та или иная удача приносили ему утешение, на некоторое время поднимали его настроение. Он получил высокий орден (правда, через год после того, как тот же орден получил Симонов). По случаю столетнего юбилея Московского университета он был избран почетным его членом. Ректор известил его об этом письмом следующего содержания:

«Императорский Московский университет, в уважение государственных и ученых заслуг Вашего превосходительства, избрал Вас своим почетным членом, с полною уверенностью в содействии Вашем всему, что к успехам наук и благосостоянию Университета способствовать может.

Препровождая при сем диплом на это звание, а также серебряную медаль, выбитую в память столетнего юбилея, и по одному экземпляру изданных к тому времени сочинений, Совет Университета имеет честь покорнейше просить Ваше превосходительство о получении их не оставить уведомлением».

Еще раньше Лобачевский был избран почетным членом Казанского университета. Однако внести действительное утешение в его угасавшую жизнь все это уже не могло. Было только одно поручение, которое он в эту пору выполнил с новым подъемом.

1Воспоминания сына Н. И. Лобачевского, стр. 158. Следует отметить, что к этим воспоминаниям нужно относиться с некоторой осторожностью: кое-что в них несомненно неточно. 2И П. Вагнер. Назв. соч., стр. 16. 3Б. Л. Модзалевский. И. И. Лобачевский, письма его к И. Е. Великопольскому. Казань, 1902. Воспроизведено также в книге Модзалевского «Лобачевский». 4После смерти отца он за растрату казенных денег был сослан в Сибирь. В г. Мариинске его случайно встретил один из учеников «незабвенного Николая Ивановича» (фамилия его остается неизвестной), который с его слов составил воспоминания, опубликованные в «Историческом Вестнике» в 1895 г. Н. Н. Лобачевский со своей семьей влачил тогда очень жалкое существование.

historylib.org

Книга - Лобачевский 2 - Математика

Лобачевский по существу берет за отправной пункт все то, что Евклид доказал без помощи 5-го постулата. Все эти предположения являются общими как для геометрии Евклида, так и для геометрии Лобачевского.

Таким образом, все предложения абсолютной геометрии сохраняют свою силу и в геометрии Лобачевского. Абсолютная геометрия естьобщая часть и общий фундамент евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского.

В первом случае мы получим геометрию Евклида, во втором случае –

Геометрию Лобачевского. Отсюда ясно, что все сходное в геометриях Евклида и Лобачевского имеет свои основания в абсолютной Геометрии, а все то, что различно в них, коренится в различии аксиом параллельности.

Укажем ряд важнейших планиметрических теорем, относящихся к абсолютной геометрии.

1.1. Каждый отрезок и каждый угол можно единственным образом разделить пополам.

1.2. Через каждую точку можно провести единственный перпендикуляр к данной прямой.

1.3. Сумма двух смежных углов равна 2d.

1.4. Все прямые углы равны между собой.

1.5. Вертикальные углы равны.

1.6. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине является медианой и высотой, углы при основании равны.

1.7. Перпендикуляр короче наклонной. Известные теоремы о сравнении перпендикуляров, наклонных и их проекций.

1.8. Внешний угол треугольника больше внутреннего угла, с ним не смежного.

1.9. Во всяком треугольнике не может быть более одного прямого или тупого угла.

1.10. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно.

1.11. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

1.12. Сумма двух сторон треугольника больше третьей.

1.13. Три признака равенства треугольников.

1.14. Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, или внутренние накркст лежащие углы равны, или сумма внутренних односторонних углов равна 2d, то данные прямые не пересекаются.

1.15. Два перпендикуляра к третьей прямой не пересекаются.

1.16. Через точку, лежащую вне прямой, в плоскости, ими определяемой, проходит по крайней мере одна прямая, не пересекающая данной.

1.17. Сумма углов треугольника не более 2d(11-я теорема Лежандра).

1.18. Если в плоскости две точки лежат по разные стороны прямой, то отрезок, их соединяющий, пересекает данную прямую.

1.19. Если луч проходит через вершину треугольника внутрь его, то он пересекает противоположную сторону треугольника.

1.20. Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, лежащей внутри треугольника.

1.21. В треугольник можно вписать единственную окружность.

1.22. Прямая пересекает окружность не более чем в двух точках.

1.23. Равные дуги окружности стягиваются равными хордами, и обратно.

1.24. Если выбрать единичный отрезок, то всякому отрезку можно поставить в соответствие единственное положительное число, называемое длинной отрезка, и, обратно, каждому положительному числу можно поставить в соответствие некоторый отрезок, длина которого выражается этим числом.

1.25. Если все внутренние лучи, выходящие из вершины угла АОВ, а так же сторона АО и ОВ разбить на два класса так, что 1) каждый луч принадлежит одному и только одному из этих классов, луч АО принадлежит первому классу, а луч ОВ – ко второму, 2) каждый луч первого класса лежит между ОА и любым лучом второго класса, то существует один и только один луч l, пограничный между лучами обоих классов, причем сам луч l принадлежит либо первому, либо второму классу.

1.26. Если выбрать некоторый угол в качестве единицы измерения, то каждому углу можно поставить соответствие единственное число, называемое мерой или величиной угла.

Исходным пунктом геометрии Лобачевского является принятие всех предложений геометрии Евклида, не зависящихот 5-го постулата (т.е. абсолютной геометрии, включая аксиомы Паша, Архимеда, Дедекинда), и присоединение к ним взамен отброшенного 5-го постулата следующая аксиома, противоположный аксиоме Плейфера, а значит, и 5-му постулату.

Через точку, лежащую вне прямой плоскости, определяемой ими, можно провести не менее 2-х прямых, не пересекающих данной прямой .

Эта аксиома утверждает существование, по крайней мере 2-х таких прямых. Отсюда следует, что таких прямых существует бесконечное множество.

Очевидно, что все прямые, проходящие через точку М внутри вертикальных углов a и b, образованных прямыми b и c также не пересекают а, а таких прямых бесконечное множество.

Плоскость (или пространство), в которой предполагается выполнение аксиомы Лобачевского, называется плоскостью (или пространством) Лобачевского.

Перейдём непосредственно к параллельным Лобачевского.

Две граничные прямые СС’ и DD’ называются параллельными прямой ВВ’ в точке А, причём прямая С’С называется параллельной В’В в направлении В’В, а прямая D’D называется параллельной прямой ВВ’ в направление ВВ’. Острый угол a, образуемый параллельными с перпендикуляром АР, называется углом параллельности в точке А относительно прямой BB’. Этот угол, есть функция длины р перпендикуляра АР и обозначается так: a=П (р). АР называются отрезком параллельности в точке А относительно прямой BB’.

Все прямые пучка не пересекающие BB’ и лежащие внутри заштрихованных вертикальных углов, называются расходящимися с BB’ или сверх параллельными к BB’; угол, образуемый такой прямой с перпендикуляром АР с обеих от него сторон, больше угла параллельности a .

Наконец, все остальные прямые пучка, образующие с АР с какой-либо стороны острый угол, меньше угла параллельности a, называются пересекающими прямую BB’ или сходящимися с BB’ .

Необходимо обратить внимание, что геометрия Лобачевского при указание, то прямая СС’ параллельно прямой BB’, является совершенно обязательным также указывать, во-первых, в каком направление CC’ параллельно BB’, во-вторых, в какой точке, ибо у нас пока нет уверенности в том, что если мы на прямой CC’ возьмём какую-нибудь точку М, отличную от А, то и по отношению к пучку прямых с центра в точке М прямая СС’ будет граничной прямой.

Определение. Прямая С’C называется параллельной прямой в направление B’B в точке А, если, во-первых, прямая С’C не пересекает прямой BB’, во-вторых, C’C является граничной в пучке прямых с центром в точке А, т. е. всякий луч АЕ, проходящий внутри угла CAD, где D-любая точка прямой BB’, пересекает луч DB.

Условимся в целях краткости и удобства обозначать параллельность прямой АА’ к BB’в направление B’B символом AA’êêB’B, где порядок букв указывает направление параллельности. На чертеже направление параллельности указывается стрелками.

Т еорема1. Если прямая ВВ’êêАА' в точке М, то ВВ'êêАА' в любой своей точке N.

Теорема 2 . Если ВВ'êêАА', то и обратно: АА'êêВВ'.

Теорема 3 . Если АА'êêСС' и ВВ'êêСС', то АА'êêВВ'.

Теорема 4 . Если прямая CC’ лежит между двумя прямыми АА’ и BB’, параллельными в некотором направление, не пересекая их, то CC’параллельна обеим этим прямым в том же направлении.

Теорема 5 . Если две прямые при пересечении с третьей образуют равные соответственные углы, или внутренние односторонние углы, в сумме составляющие 2d, то эти прямые расходятся.

Задача 902 .(С борник задач — Атанасян, ч . 2) Пусть (U1V1) êê(U2V2). Доказать, что если прямая (UV) лежит между (U1V1) и (U2V2) и не пересекает одну из них, то она параллельна данным.

Действительно, отрезок U1U2, соединяющий любые точки U1 и U2 параллельных прямых U2V2 и U1V1, пересечет UV в некоторой точке U, ибо UV по условию лежит между U2V2 и U1V1 (теорема 1.18).

В силу параллельности U2V2 и U1V1 любой луч U2E, проходящий внутри угла V2U2U1, пересечёт U1V1, а значит, и UV. Следовательно, U2V2 êêUV. Пользуясь теоремами 2 и 3, легко убедиться, что U1V1êêUV.

Интересно отметить, что в геометрии Лобачевского прямая может пересечь две параллельные, не пересекая третьей. Действительно, например, любая прямая EF, расходящаяся с АА’, пересекает СС’и BB’, не пересекая АА’.

www.ronl.ru

ЛОБАЧЕВСКИЙ

ЛОБАЧЕВСКИЙ Николай Иванович (1792—1856) — русский математик, создатель новой геометрической системы (неевклидовой геометрии), философ, педагог. Член-корреспондент Геттингенского Ученого Общества (1842). К столетнему юбилею Л. учреждена Международная премия имени Л. (с 1895). Учился в Казанской гимназии (1802—1807) и Казанском университете (1807—1811). Оставлен при Казанском университете, с которым связана вся его деятельность: магистр математики (1811), адъюнкт (1814), экстраординарный профессор (1816), библиотекарь университета (1819— 1835, оставался в этой должности, даже будучи ректором), ординарный профессор (с 1822), декан физико-математического факультета (1820—1822, 1823— 1825), ректор Казанского университета (1827—1846), который под руководством Л. стал первоклассным высшим учебным заведением России того времени; инициатор издания и редактор ‘Ученых записок Казанского университета’ (с 1834), помощник попечителя Казанского учебного округа (1846—1856). Главные труды: речь ‘Сжатое изложение основ геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных’ (23.2.1826), книги ‘О началах геометрии’ (1829— 1830), ‘Воображаемая геометрия’ (1835), ‘Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам’ (1836), ‘Новые начала геометрии с полной теорией параллельных’ (1835—1838), ‘Геометрические исследования по теории параллельных линий’ (1840), ‘Пангеометрия’ (1855). В СССР было издано полное собрание сочинений Л. в пяти томах (1946—1951). Ему принадлежат также фундаментальные труды в области математического анализа (тригонометрические ряды) и алгебры. Л. является создателем ‘геометрии Л.’ — неевклидовой геометрической системы, которая стала поворотным пунктом в развитии математического мышления в 19 в. В своем труде ‘Геометрические исследования по теории параллельных линий’ Л. доказал, что основное положение теории параллельных линий принималось без тщательного анализа необходимости этого положения. Суть дела, по Л., в следующем: в случае одной плоскости, в результате пересечения двух прямых линий, лежащих на ней, третьей прямой линией получается 8 углов. Если сумма одностороних внутренних углов из них равна сумме двух прямых углов, то две пересекаемые прямые линии являются параллельными. Геометрия Евклида утверждает справедливость и обратного утверждения: всякий раз, когда две прямые линии параллельны, то при их пересечении третьей прямой линией сумма одностороних внутренних углов из них равна сумме двух прямых углов. Это составляет основание так называемого пятого постулата Евклида ‘о параллельных линиях’, который значительно более содержателен по сравнению с другими постулатами. При этом в геометрии Евклида многие предложения возможно доказать и без его применения. Необходимость принятия этого утверждения без доказательства во все времена интерпретировалась ведущими математиками как существеннейший недостаток теории параллельных линий. Поэтому еще со времен Античности предпринимались безуспешные попытки непосредственных доказательств (из введенных до этого четырех постулатов) пятого постулата в форме логического вывода утверждения, заключенного в нем. Л. также делал неудавшиеся попытки отыскания доказательства пятого постулата, однако позднее пришел к необходимости создания новой геометрической системы. Совокупность предложений геометрии, доказываемых без применения постулата о параллельных линиях, составляет основание того, что было названо ‘абсолютной геометрией’. В своем труде ‘Геометрические исследования по теории параллельных линий’ Л. сначала изложил предложения абсолютной геометрии, и только на основании этого подошел к доказательству предложений, которые принципиально невозможно доказать без применения постулата о параллельных линиях. Такая дифференциация и составила основу позднейших работ Л. в этом направлении. Л. так определял основные выводы из своей речи ‘Сжатое изложение основ геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных’: ‘...Напрасное старание со времен Евклида, в продолжение двух тысяч лет, заставило меня подозревать, что в самых понятиях не заключается той истины, которую хотели доказать и которую поверить, подобно другим физическим законам, могут лишь опыты, каковы, например, Астрономические наблюдения...’. При этом Л. выдвигал допущение, что в случае одной плоскости через точку С, не принадлежащую прямой линии AB, возможно провести как минимум две прямые линии, не пересекающих прямую линию AB (а это полностью противоречило постулату Евклида о параллельных). По идее Л., оно должно было бы противоречить абсолютной геометрии и, тем самым, привести к доказательству постулата Евклида о параллельных линиях. Однако сделанные Л. выводы из этого допущения и положений абсолютной геометрии привели к созданию полностью непротиворечивой геометрической системы, отличающейся от геометрии Евклида, — неевклидовой геометрии. Л. назвал ее ‘воображаемой геометрией’. Независимо от Л., непосредственно к обоснованию неевклидовой геометрии в 1832 подошел венгерский математик Я.Больяи. Известно также, что аналогичными проблемами активно занимался германский математик К.Гаусс, который никак не выражался по этому поводу публично: ‘...возможно даже, что я не решусь на это во всю свою жизнь, потому что я боюсь крика беотийцев /Беотия — область Древней Греции, жителям которой, согласно древним легендам, приписывались ограниченные умственные способности — C.C./, который поднимется, когда я выскажу свои воззрения целиком...’ (именно К.Гаусс инициировал избрание Л. в член-корреспонденты Ученого общества Геттингена). В дальнейшее развитие идей Л. немецкий математик Б.Риман в своей лекции ‘О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии’ (1854) выдвинул общую идею математических пространств (включая пространства функциональные и топологические): он рассматривал геометрию уже в широком смысле как учение о непрерывных многомерных многообразиях (т.е. совокупностях любых однородных объектов), обобщив результаты исследований К.Гаусса по внутренней геометрии поверхностей; провел фундаментальные исследования римановых пространств (обобщивших геометрию Евклида, гиперболические геометрии Л. и эллиптические геометрии Римана). По поводу применимости этих идей к реальному физическому пространству Б.Риман, в первую очередь, ставил вопрос о ‘...причинах метрических свойств... его’, совместно с Л. предварял тем самым то, что было сделано Эйнштейном в общей теории относительности. Л. в своих исследованиях интерпретировал исходные математические абстракции (в том числе основные понятия геометрии) как отражения базисных реальных отношений и свойств материального мира, полагая, что в природе мы ‘...познаем собственно только движение, без которого чувственные впечатления невозможны... все прочие понятия, например, геометрические, произведены нашим умом искусственно, будучи взяты в свойствах движения... Первыми данными, без сомнения, будут всегда те понятия, которые мы приобретаем в природе посредством наших чувств... Первые понятия, с которых начинается какая-нибудь наука... приобретаются чувствами; врожденным — не должно верить...’. По Л., математические абстракции рождаются не по произволу человеческой мысли, а в результате взаимоотношения личности с реальной действительностью: ‘...Поверхности и линии не существуют в природе, а только в воображении: они предполагают, следовательно, свойство тел, познание которых должно родить в нас понятие о поверхностях и линиях...’; в основаниях математических наук должны лежать ‘приобретаемые из природы’, а не произвольные понятия, а те, кто хотел ‘...ввести подобные понятия в математику, не нашли себе последователей. Такую участь имели основания форономии Канта...’. Противоположение априоризму Канта была одной из важнейших предпосылок создания неевклидовых геометрий. Показав неустойчивость оснований геометрии Евклида, Л. отвергал теорию Канта, интерпретировавшую базисные аксиомы евклидовой геометрии не как результат опыта человечества, а как врожденные формы человеческого сознания. (Мнение Пирса о значении геометрии Л. — см. Пирс.) Л. признавал несостоятельность попыток вывода оснований математики из одних лишь построений разума: ‘...все математические начала, которые думают произвести из самого разума, независимо от вещей мира, останутся бесполезными для математики...’. В ректорской ‘Речи о важнейших предметах воспитания’ Л. говорил, что ‘...в это заведение вступивши, юношество не услышит пустых слов без всякой мысли, одних звуков без всякого значения. Здесь учат тому, что на самом деле существует; а не тому, что изобретено одним праздным умом...’. Для Л. целью научного знания было не развитие оторванных от жизни понятий, а изучение реального мира. Возможность соответствия построенной им геометрии отношениям, существующим в реальном мире, Л. стремился подтвердить опытной проверкой. Признавая фундаментальную роль гипотез для развития науки, Л. требовал при выборе гипотез руководствоваться практикой, позволяющей останавливаться на тех из них, которые вернее отражают соотношения, наблюдаемые в действительности. Руководящим принципом всей деятельности Л.-педагога была мысль о том, что опыт, практика дают уверенность в правильности теоретических выводов. Л. требовал такого начального обучения математике, которое приучало бы учащихся за математическим действиями видеть явления реальной действительности. Л. в своей активной деятельности за правильную организацию народного образования призывал к тому, чтобы каждый пришедший в университет стал гражданином, который ‘...высокими познаниями своими составляет честь и славу своего Отечества...’. Поделитесь на страничке

slovar.wikireading.ru