Читать онлайн «8. Квантовая механика I». Квантовая механика книга


Книга «Квантовая механика. Теоретический минимум» / Блог компании Издательский дом «Питер» / Хабр

Классическая механика интуитивна: она ежедневно и многократно используется людьми для выживания. Но до двадцатого века никто и никогда не использовал квантовую механику. Она описывает вещи столь малые, что они полностью выпадают из области восприятия человеческих органов чувств. Единственный способ понять эту теорию, насладиться ее красотой — перекрыть нашу интуицию абстрактной математикой.

Леонард Сасскинд — известный американский ученый — приглашает вас отправиться в увлекательное путешествие в страну квантовой механики. В пути вам пригодятся базовые знания из школьного курса физики, а также основы математического анализа и линейной алгебры. Также необходимо знать кое-что о вопросах, которые рассматривались в первой книге «теоретического минимума» Сасскинда — «Все, что нужно знать о современной физике». Но нестрашно, если эти знания несколько подзабылись. Многое автор напомнит и пояснит по ходу дела.

Квантовая механика — необычная теория: согласно ее постулатам, например, мы можем знать все о системе и ничего о ее отдельных частях. По поводу этого и других противоречий в свое время много спорили Эйнштейн и Нильс Бор. Если вы не боитесь сложностей, обладаете пытливым умом, технически грамотны, искренне и глубоко интересуетесь физикой, то этот курс лекций Леонарда Сасскинда придется вам по душе. Книга концентрируется на логических принципах квантовой теории и ставит целью не сгладить парадоксальность квантовой логики, а вытащить ее на дневной свет и попытаться разобраться с непростыми вопросами, которые она поднимает.

Обзор волновой функции

В этой лекции мы будем использовать язык волновых функций, поэтому давайте перед погружением сделаем небольшой обзор материала. Мы обсуждали в лекции 5 волновые функции абстрактных объектов, не объясняя, какое они имеют отношение к волнам или функциям. Прежде чем восполнить этот пробел, я напомню то, что мы обсуждали ранее.

Начнем с того, что выберем наблюдаемую L с собственными значениями l и собственными векторами |l〉. Пусть |Y〉 будет вектором состояния. Поскольку собственные векторы эрмитова оператора образуют полный ортонормированный базис, вектор |Y〉 можно разложить по этому базису: Как вы помните из разделов 5.1.2 и 5.1.3, величины Y(l) называются волновой функцией системы. Но заметьте: конкретная форма Y(l) зависит от конкретной наблюдаемой L, которую мы первоначально выбрали. Если выбрать другую наблюдаемую, волновая функция (наряду с базисными векторами и собственными значениями) окажется иной, несмотря на то что мы по-прежнему говорим о том же самом состоянии. Таким образом, мы должны сделать оговорку о том, что Y(l) является волновой функцией, связанной с |Yñ. Если быть точными, мы должны сказать, что Y(l) является волновой функций в L-базисе. Если использовать свойства ортонормированности этого базиса векторов 〈li|lj〉 = dij, то волновая функция в этом L-базисе может быть также задана с помощью внутренних произведений (или проекций) вектора состояния |Y〉 на собственные векторы |l〉: Y(l) = 〈l|Y〉

О волновой функции можно думать двумя способами. Прежде всего, это набор компонент вектора состояния в конкретном базисе. Эти компоненты можно выписать в форме вектора столбца:

Другой способ думать о волновой функции — это рассматривать ее как функцию l. Если вы задали любое допустимое значение l, то функция Y(l) дает комплексное число. Можно, таким образом, сказать, что Y(l) —это комплекснозначная функция дискретной переменной l. При таком рассмотрении линейные операторы становятся операциями, которые применяются к функциям и дают новые функции.

И еще одно, последнее напоминание: вероятность того, что эксперимент даст результат l, равна P(l) = Y*(l)Y(l).

Функции и векторы

До сих пор системы, которые мы изучали, имели конечномерные векторы состояния. Например, простой спин описывается двумерным пространством состояний. По этой причине наблюдаемые имели только конечное число возможных наблюдаемых значений. Но существуют более сложные наблюдаемые, которые могут иметь бесконечное число значений. Примером служит частица. Координаты частицы являются наблюдаемыми, но в отличие от спина координаты имеют бесконечное число возможных значений. Например, частица, движущаяся вдоль оси x, может находиться у любой вещественной отметки x. Другими словами, x является непрерывной бесконечной переменной. Когда наблюдаемые системы непрерывны, волновая функция становится полноценной функцией непрерывной переменной. Для применения квантовой механики к системам такого рода мы должны расширить представление о векторах так, чтобы включить в него функции.

Функции являются функциями, а векторы — векторами; они кажутся совершенно разными сущностями, так в каком же смысле функции являются векторами? Если вы думаете о векторах как о стрелках в трехмерном пространстве, то они, конечно, совсем не то же самое, что функции. Но если вы взглянете на векторы шире, как на математические объекты, удовлетворяющие некоторым постулатам, функции в действительности образуют векторное пространство. Такое векторное пространство часто называют гильбертовым пространством в честь математика Давида Гильберта.

Рассмотрим набор комплексных функций Y(x) одной вещественной переменной x. Под комплексной функцией я имею в виду, что каждому x она сопоставляет комплексное число Y(x). С другой стороны, независимая переменная x является обычной вещественной переменной. Она может принимать любые вещественные значения от –∞ до +∞.

Теперь сформулируем точно, что мы имеем в виду, говоря, что «функции являются векторами». Это не поверхностная аналогия или метафора. При некоторых ограничениях (к которым мы еще вернемся) такие функции, как Y(x), удовлетворяют математическим аксиомам, которые определяют векторное пространство. Мы вскользь упоминали эту идею в разделе 1.9.2, а теперь используем ее в полную силу. Оглядываясь назад, на аксиомы комплексного векторного пространства (в разделе 1.9.1), мы видим, что комплексные функции удовлетворяют им всем.

1. Сумма любых двух функций является функцией. 2. Сложение функций коммутативно. 3. Сложение функций ассоциативно. 4. Существует единственная нулевая функция такая, что при ее сложении с любой функцией получается та же самая функция. 5. Для любой данной функции Y(x) существует единственная функция –Y(x), такая что Y(x) + (–Y(x)) = 0. 6. Умножение функции на любое комплексное число дает функцию и является линейным. 7. Соблюдается дистрибутивное свойство, означающее что

z[Y(x) + j(x)] = zY(x) + zj(x), [z + w]Y(x) = zY(x) + wY(x),

где z и w — комплексные числа.

Все это подразумевает, что мы можем идентифицировать функцию Y(x) с кет-вектором |Y〉 в абстрактном векторном пространстве. Неудивительно, что мы также можем определить бра-векторы. Бра-вектор 〈Y|, соответствующий кету |Y〉, отождествляется с комплексно сопряженной функцией Y*(x).

Для эффективного использования этой идеи нам необходимо обобщить некоторые предметы из нашего набора математических инструментов. В предыдущих лекциях метки, которые идентифицировали волновые функции, были членами некоего конечного дискретного множества, например собственными значениями определенной наблюдаемой. Но теперь независимая переменная непрерывна. Среди прочего это означает, что мы не можем суммировать по ней, пользуясь обычными суммами. Я думаю, вы знаете, что надо делать. Вот ориентированные на функции заменители для трех наших векторных понятий, с двумя из которых вы уже знакомы.

• Суммы заменяются интегралами. • Вероятности заменяются плотностями вероятности. • Дельта-символ Кронекера заменяется дельта-функцией Дирака.

Присмотримся к этим инструментам внимательнее.

Суммы заменяются интегралами. Если мы по-настоящему хотели бы сохранить строгость, то начали бы с замены оси x дискретным набором точек, разделенных очень малыми интервалами ε, а затем перешли бы к пределу ε → 0. Понадобилось бы несколько страниц на то, чтобы обосновать каждый шаг. Но мы можем избежать этих хлопот с помощью нескольких интуитивных определений, таких как замена сумм интегралами. Схематически этот подход можно записать так:

Например, если надо вычислить площадь под кривой, ось x делится на крошечные отрезки, затем складываются площади большого числа прямоугольников, в точности как это делается в элементарном математическом анализе. Когда мы даем отрезкам сжиматься до нулевого размера, сумма становится интегралом.

Рассмотрим бра 〈Y| и кет |Y〉 и определим их внутреннее произведение. Очевидный способ сделать это состоит в замене суммирования в уравнении (1.2) на интегрирование. Мы определим внутреннее произведение так:

Вероятности заменяются плотностями вероятности. Далее, мы отождествим P(x) = Y*(x)Y(x) с плотностью вероятности для переменной x. Почему именно с плотностью вероятности, а не просто с вероятностью? Если x является непрерывной переменной, то вероятность, что она примет любое точно заданное значение, обычно равна нулю. Поэтому правильнее ставить вопрос так: какова вероятность того, что x лежит между двумя значениями x = a и x = b? Плотность вероятности определяется так, что эта вероятность дается интегралом

Поскольку полная вероятность должна быть 1, мы можем определить нормировку вектора как

Дельта-символ Кронекера заменяется дельта-функцией Дирака. До сих пор все было очень знакомо. Дельта функция Дирака — это что-то новенькое. Дельта-функция является аналогом дельта-символа Кронекера dij, который по определению равен 0, если i ≠ j, и 1, если i = j. Но его можно определить и по-другому. Рассмотрим любой вектор Fi в конечномерном пространстве. Легко заметить, что дельта-символ Кронекера удовлетворяет условию

Это связано с тем, что в данной сумме ненулевыми являются только члены с j = i. В ходе суммирования символ Кронекера отфильтровывает все компоненты F кроме Fi. Очевидным обобщением этого будет определить новую функцию, которая обладает таким же фильтрующим свойством, когда используется под интегралом. Другими словами, нам нужна новая сущность d(x – x'), обладающая тем свойством, что для любой функции F(x)

Уравнение (8.4) определяет новую сущность, называемую дельта-функцией Дирака, которая оказалась важнейшим инструментом в квантовой механике. Но несмотря на ее название, это в действительности не функция в обычном смысле. Она равна нулю везде, где x ≠ x', но когда x = x' она обращается в бесконечность. Фактически она бесконечна ровно настолько, чтобы площадь под d(x) была равна 1. Грубо говоря, эта функция отлична от нуля на бесконечно малом интервале ε, но на этом интервале имеет значение 1/ε. Таким образом, площадь под ней равна 1, и, что важнее, она удовлетворяет уравнению (8.4). Функция

достаточно хорошо аппроксимирует дельта-функцию при очень больших значениях n. На рис. 8.1 показана эта оптимизация при увеличивающихся значениях n. Несмотря на то что мы остановились на n = 10, то есть очень небольшом значении, обратите внимание, что график уже стал очень узким и резким пиком.

» Более подробно с книгой можно ознакомиться на сайте издательства » Оглавление » Отрывок

Для читателей данного блога скидка 20% по купону — Сасскинд

habr.com

8. Квантовая механика I читать онлайн, Фейнман Ричард Филлипс

Глава 1

АМПЛИТУДЫ ВЕРОЯТНОСТИ

§ 1.Законы композиции амплитуд

§ 2.Картина интерференции от двух щелей

§ З. Рассеяние на кристалле

§ 4. Тождественные частицы

Повторить:гл. 37 (вып. 3) «Квантовое поведение» ; гл. 38 (вып. 3) « Соотношение между волновой и корпускулярной точками зрения»

§ 1. Законы композиции амплитуд

Когда Шредингер впервые открыл правильные законы квантовой механики, он написал уравнение, которое описывало амплитуду вероятности обнаружения частицы в различных местах. Это уравнение было очень похоже на уравнения, которые были уже известны классическим физикам, они ими пользовались, чтобы описать движение воздуха в звуковой волне, распространение света и т. д. Так что в начале развития квантовой механики большую часть времени люди занимались решением этого уравнения. Но в то же время началось (в частности, благодаря Борну и Дираку) понимание тех фундаментально новых идей, которые лежали в основе квантовой механики. По мере дальнейшего ее развития выяснилось, что в ней есть много такого, что прямо в уравнении Шредингера не содержится,— таких вещей, как спин электрона и различные релятивистские явления. Все курсы квантовой механики по традиции начинают с того же самого, повторяя путь, пройденный в историческом развитии предмета. Сперва долго изучают классическую механику, чтобы потом понять, как решается уравнение Шредингера. Затем столь же долго получают различные решения. И лишь после детального изучения этого уравнения переходят к «высшим» вопросам, таким, как спин электрона.

Сначала мы тоже считали, что лучше всего закончить эти лекции, показав, как решаются уравнения классической физики в различных сложных случаях, таких, как описание звуковых волн в замкнутом пространстве, типы электромагнитного излучения в цилиндрических полостях и т. д. Таков был первоначальный план этого курса. Но затем мы решили отказаться от этого плана и вместо этого дать введение в квантовую механику. Мы пришли к заключению, что то, что обычно именуют «высшими» разделами квантовой механики, на самом деле совсем простая вещь. Нужная для этого математика чрезвычайно проста — требуются лишь несложные алгебраические операции, никаких дифференциальных уравнений не нужно (или в крайнем случае нужны самые простые). Проблема только в том, чтобы перепрыгнуть через одно препятствие: усвоить, что мы больше не имеем права детально описывать поведение частиц в пространстве. И вот этим-то мы и собираемся заняться: рассказать вам о том, что обычно называют «высшими» разделами квантовой механики. Но уверяю вас, это самые что ни на есть простые (в полном смысле этого слова), но в то же время самые фундаментальные ее части. Честно говоря, это педагогический эксперимент, и, насколько нам известно, он никогда раньше не ставился.

Конечно, здесь есть своя трудность: квантовомеханическое поведение вещей чрезвычайно странно. Никто не может полагаться на то, что его ежедневный опыт даст ему интуитивное, грубое представление о том, что должно произойти. Так что этот предмет можно представить двояким образом: можно либо довольно грубо , описать, что происходит — сообщать более или менее подробно, что случится, но не формулировать точных законов, либо же можно приводить и точные законы в их абстрактном виде. Но тогда эта абстракция приведет к тому, что вы не будете знать, к чему физически она относится. Этот способ не годится, потому что он совершенно отвлеченный, а от первого способа будет оставаться неприятный осадок, потому что никогда не будет точно известно, что верно, а что нет. И мы не знаем, как эту трудность обойти. С этой проблемой мы уже сталкивались раньше [гл. 37 и 38 (вып. 3)1. В гл. 37 изложение относительно строгое, а в гл. 38 дано лишь грубое описание различных явлений. Теперь мы попытаемся найти золотую середину.

Мы начнем эту главу с некоторых общих квантовомеханических представлений. Кое-какие из этих утверждений будут совершенно точными, иные же точны лишь частично. При изложении нам будет трудно отмечать, которые из них какие, но к тому времени, когда вы дочитаете книжку до конца, вы уже сами будете понимать, оглядываясь назад, какие части устояли, а какие оказались только грубым объяснением. Главы, которые последуют за этой, не будут столь неточными. Одна из причин, почему мы пытаемся в последующих главах быть как можно более точными, состоит в том, что таким образом мы сможем продемонстрировать одно из самых прекрасных свойств квантовой механики — как много в ней удается вывести из столь малого.

Мы опять начинаем с выяснения свойств суперпозиции, наложения, амплитуд вероятностей. Для примера мы сошлемся на опыт, описанный в гл. 37 (вып. 3) и еще раз показанный здесь на фиг. 1.1.

Фиг. 1.1. Интерференционный опыт с электронами.

Имеется источник частиц s, скажем электронов; дальше стоит стенка, в которой имеются две щели; за стенкой помещен детектор; он находится где-то в точке х. Мы спрашиваем: какова вероятность того, что в точке х будет обнаружена частица? Наш первый общий принцип квантовой механики заключается в том, что вероятность того, что частица достигнет точки х, выйдя из источника s, может быть численно представлена квадратом модуля комплексного числа, называемого амплитудой вероятности, в нашем случае — «амплитудой того, что частица из s попадет в х». К этим амплитудам мы будем прибегать так часто, что удобно будет использовать сокращенное обозначение, изобретенное Дираком и повсеместно применяемое в квантовой механике, чтобы отображать это понятие. Мы запишем амплитуду вероятности так:

<Частица попадает в х|Частица покидает s> (1.1)

Иными словами, две скобки <> — это знак, эквивалентный словам «амплитуда (вероятности) того, что»; выражение справа от вертикальной черточки всегда задает начальное условие, а то, что слева,— конечное условие. А иногда будет удобно еще сильнее сокращать, описывая начальные и конечные условия одной буквой. Например, амплитуду (1.1) можно при случав записать и так:

<x|s>. (1.2)

Надо подчеркнуть, что подобная амплитуда — это, конечно, всего-навсего число — комплексное число.

В гл. 37 (вып. 3) мы уже видели, что, когда частица может достичь детектора двумя путями, итоговая вероятность не есть сумма двух вероятностей, а должна быть записана в виде квадрата модуля суммы двух амплитуд. Мы обнаружили, что вероятность того, что электрон достигнет детектора при обеих открытых амбразурах, есть

(1.3)

Теперь мы этот результат собираемся записать в наших новых обозначениях. Сначала сформулируем наш второй общий принцип квантовой механики. Когда частица может достичь данного состояния двумя возможными путями, полная амплитуда процесса есть сумма амплитуд для этих двух путей, рассматриваемых порознь. В наших новых обозначениях мы напишем

При этом мы предполагаем, что щели 1 и 2 достаточно малы, так что, когда мы говорим, что электрон прошел сквозь щель, не встает вопрос, через какую часть щели он прошел. Конечно, можно разбить каждую щель на участки с конечной амплитудой того, что электрон прошел через верх щели или через низ и т. д. Мы допустим, что щель достаточно мала, так что нам не надо думать об этой детали. Это одна из тех неточностей, о которых мы говорили; суть дела можно уточнить, но мы покамест не будем этого делать.

Теперь мы хотим подробнее расписать, что можно сказать об амплитуде процесса, в котором электрон достигает детектора в точке х через щель 1. Это можно сделать, применив третий общий принцип. Когда частица идет каким-то определенным данным путем, то амплитуда для этого пути может быть записана в виде произведения амплитуды того, что будет пройдена часть пути, на амплитуду того, что и остаток пути будет пройден.

Для установки, показанной на фиг. 1.1, амплитуда перехода от s к х сквозь щель 1 равна амплитуде перехода от s к 1, умноженной на амплитуду перехода от 1 к х:

Опять-таки, это утверждение не совсем точно. Нужно добавить еще один множитель — амплитуду того, что электрон пройдет щель в точке 1; но пока это у нас просто щель, и мы положим упомянутый множитель равным единице.

Заметьте, что уравнение (1.5) кажется написанным задом наперед. Его надо читать справа налево: электрон переходит от s к 1 и затем от 1 к х. В итоге если события происходят друг за другом, т. е. если вы способны проанализировать один из путей частицы, говоря, что она сперва делает то-то, затем то-то, потом то-то, то итоговая амплитуда для этого пути вычисляется последовательным умножением на амплитуду каждого последующего события. Пользуясь этим законом, мы можем уравнение (1.4) переписать так:

А теперь мы покажем, что, используя одни только эти принципы, уже мож ...

knigogid.ru

Книга «Квантовая механика. Теоретический минимум»

Классическая механика интуитивна: она ежедневно и многократно используется людьми для выживания. Но до двадцатого века никто и никогда не использовал квантовую механику. Она описывает вещи столь малые, что они полностью выпадают из области восприятия человеческих органов чувств. Единственный способ понять эту теорию, насладиться ее красотой — перекрыть нашу интуицию абстрактной математикой.

Леонард Сасскинд — известный американский ученый — приглашает вас отправиться в увлекательное путешествие в страну квантовой механики. В пути вам пригодятся базовые знания из школьного курса физики, а также основы математического анализа и линейной алгебры. Также необходимо знать кое-что о вопросах, которые рассматривались в первой книге «теоретического минимума» Сасскинда — «Все, что нужно знать о современной физике». Но нестрашно, если эти знания несколько подзабылись. Многое автор напомнит и пояснит по ходу дела.

Квантовая механика — необычная теория: согласно ее постулатам, например, мы можем знать все о системе и ничего о ее отдельных частях. По поводу этого и других противоречий в свое время много спорили Эйнштейн и Нильс Бор. Если вы не боитесь сложностей, обладаете пытливым умом, технически грамотны, искренне и глубоко интересуетесь физикой, то этот курс лекций Леонарда Сасскинда придется вам по душе. Книга концентрируется на логических принципах квантовой теории и ставит целью не сгладить парадоксальность квантовой логики, а вытащить ее на дневной свет и попытаться разобраться с непростыми вопросами, которые она поднимает.

Обзор волновой функции

В этой лекции мы будем использовать язык волновых функций, поэтому давайте перед погружением сделаем небольшой обзор материала. Мы обсуждали в лекции 5 волновые функции абстрактных объектов, не объясняя, какое они имеют отношение к волнам или функциям. Прежде чем восполнить этот пробел, я напомню то, что мы обсуждали ранее.

Начнем с того, что выберем наблюдаемую L с собственными значениями l и собственными векторами |l〉. Пусть |Y〉 будет вектором состояния. Поскольку собственные векторы эрмитова оператора образуют полный ортонормированный базис, вектор |Y〉 можно разложить по этому базису:Как вы помните из разделов 5.1.2 и 5.1.3, величины Y(l) называются волновой функцией системы. Но заметьте: конкретная форма Y(l) зависит от конкретной наблюдаемой L, которую мы первоначально выбрали. Если выбрать другую наблюдаемую, волновая функция (наряду с базисными векторами и собственными значениями) окажется иной, несмотря на то что мы по-прежнему говорим о том же самом состоянии. Таким образом, мы должны сделать оговорку о том, что Y(l) является волновой функцией, связанной с |Yñ. Если быть точными, мы должны сказать, что Y(l) является волновой функций в L-базисе. Если использовать свойства ортонормированности этого базиса векторов 〈li|lj〉 = dij, то волновая функция в этом L-базисе может быть также задана с помощью внутренних произведений (или проекций) вектора состояния |Y〉 на собственные векторы |l〉: Y(l) = 〈l|Y〉

О волновой функции можно думать двумя способами. Прежде всего, это набор компонент вектора состояния в конкретном базисе. Эти компоненты можно выписать в форме вектора столбца:

Другой способ думать о волновой функции — это рассматривать ее как функцию l. Если вы задали любое допустимое значение l, то функция Y(l) дает комплексное число. Можно, таким образом, сказать, что Y(l) —это комплекснозначная функция дискретной переменной l. При таком рассмотрении линейные операторы становятся операциями, которые применяются к функциям и дают новые функции.

И еще одно, последнее напоминание: вероятность того, что эксперимент даст результат l, равна P(l) = Y*(l)Y(l).

Функции и векторы

До сих пор системы, которые мы изучали, имели конечномерные векторы состояния. Например, простой спин описывается двумерным пространством состояний. По этой причине наблюдаемые имели только конечное число возможных наблюдаемых значений. Но существуют более сложные наблюдаемые, которые могут иметь бесконечное число значений. Примером служит частица. Координаты частицы являются наблюдаемыми, но в отличие от спина координаты имеют бесконечное число возможных значений. Например, частица, движущаяся вдоль оси x, может находиться у любой вещественной отметки x. Другими словами, x является непрерывной бесконечной переменной. Когда наблюдаемые системы непрерывны, волновая функция становится полноценной функцией непрерывной переменной. Для применения квантовой механики к системам такого рода мы должны расширить представление о векторах так, чтобы включить в него функции.

Функции являются функциями, а векторы — векторами; они кажутся совершенно разными сущностями, так в каком же смысле функции являются векторами? Если вы думаете о векторах как о стрелках в трехмерном пространстве, то они, конечно, совсем не то же самое, что функции. Но если вы взглянете на векторы шире, как на математические объекты, удовлетворяющие некоторым постулатам, функции в действительности образуют векторное пространство. Такое векторное пространство часто называют гильбертовым пространством в честь математика Давида Гильберта.

Рассмотрим набор комплексных функций Y(x) одной вещественной переменной x. Под комплексной функцией я имею в виду, что каждому x она сопоставляет комплексное число Y(x). С другой стороны, независимая переменная x является обычной вещественной переменной. Она может принимать любые вещественные значения от –∞ до +∞.

Теперь сформулируем точно, что мы имеем в виду, говоря, что «функции являются векторами». Это не поверхностная аналогия или метафора. При некоторых ограничениях (к которым мы еще вернемся) такие функции, как Y(x), удовлетворяют математическим аксиомам, которые определяют векторное пространство. Мы вскользь упоминали эту идею в разделе 1.9.2, а теперь используем ее в полную силу. Оглядываясь назад, на аксиомы комплексного векторного пространства (в разделе 1.9.1), мы видим, что комплексные функции удовлетворяют им всем.

1. Сумма любых двух функций является функцией.2. Сложение функций коммутативно.3. Сложение функций ассоциативно.4. Существует единственная нулевая функция такая, что при ее сложении с любой функцией получается та же самая функция.5. Для любой данной функции Y(x) существует единственная функция –Y(x), такая что Y(x) + (–Y(x)) = 0.6. Умножение функции на любое комплексное число дает функцию и является линейным.7. Соблюдается дистрибутивное свойство, означающее что

z[Y(x) + j(x)] = zY(x) + zj(x),[z + w]Y(x) = zY(x) + wY(x),

где z и w — комплексные числа.

Все это подразумевает, что мы можем идентифицировать функцию Y(x) с кет-вектором |Y〉 в абстрактном векторном пространстве. Неудивительно, что мы также можем определить бра-векторы. Бра-вектор 〈Y|, соответствующий кету |Y〉, отождествляется с комплексно сопряженной функцией Y*(x).

Для эффективного использования этой идеи нам необходимо обобщить некоторые предметы из нашего набора математических инструментов. В предыдущих лекциях метки, которые идентифицировали волновые функции, были членами некоего конечного дискретного множества, например собственными значениями определенной наблюдаемой. Но теперь независимая переменная непрерывна. Среди прочего это означает, что мы не можем суммировать по ней, пользуясь обычными суммами. Я думаю, вы знаете, что надо делать. Вот ориентированные на функции заменители для трех наших векторных понятий, с двумя из которых вы уже знакомы.

• Суммы заменяются интегралами.• Вероятности заменяются плотностями вероятности.• Дельта-символ Кронекера заменяется дельта-функцией Дирака.

Присмотримся к этим инструментам внимательнее.

Суммы заменяются интегралами. Если мы по-настоящему хотели бы сохранить строгость, то начали бы с замены оси x дискретным набором точек, разделенных очень малыми интервалами ε, а затем перешли бы к пределу ε → 0. Понадобилось бы несколько страниц на то, чтобы обосновать каждый шаг. Но мы можем избежать этих хлопот с помощью нескольких интуитивных определений, таких как замена сумм интегралами. Схематически этот подход можно записать так:

Например, если надо вычислить площадь под кривой, ось x делится на крошечные отрезки, затем складываются площади большого числа прямоугольников, в точности как это делается в элементарном математическом анализе. Когда мы даем отрезкам сжиматься до нулевого размера, сумма становится интегралом.

Рассмотрим бра 〈Y| и кет |Y〉 и определим их внутреннее произведение. Очевидный способ сделать это состоит в замене суммирования в уравнении (1.2) на интегрирование. Мы определим внутреннее произведение так:

Вероятности заменяются плотностями вероятности. Далее, мы отождествим P(x) = Y*(x)Y(x) с плотностью вероятности для переменной x. Почему именно с плотностью вероятности, а не просто с вероятностью? Если x является непрерывной переменной, то вероятность, что она примет любое точно заданное значение, обычно равна нулю. Поэтому правильнее ставить вопрос так: какова вероятность того, что x лежит между двумя значениями x = a и x = b? Плотность вероятности определяется так, что эта вероятность дается интегралом

Поскольку полная вероятность должна быть 1, мы можем определить нормировку вектора как

Дельта-символ Кронекера заменяется дельта-функцией Дирака. До сих пор все было очень знакомо. Дельта функция Дирака — это что-то новенькое. Дельта-функция является аналогом дельта-символа Кронекера dij, который по определению равен 0, если i ≠ j, и 1, если i = j. Но его можно определить и по-другому. Рассмотрим любой вектор Fi в конечномерном пространстве. Легко заметить, что дельта-символ Кронекера удовлетворяет условию

Это связано с тем, что в данной сумме ненулевыми являются только члены с j = i. В ходе суммирования символ Кронекера отфильтровывает все компоненты F кроме Fi. Очевидным обобщением этого будет определить новую функцию, которая обладает таким же фильтрующим свойством, когда используется под интегралом. Другими словами, нам нужна новая сущность d(x – x'), обладающая тем свойством, что для любой функции F(x)

Уравнение (8.4) определяет новую сущность, называемую дельта-функцией Дирака, которая оказалась важнейшим инструментом в квантовой механике. Но несмотря на ее название, это в действительности не функция в обычном смысле. Она равна нулю везде, где x ≠ x', но когда x = x' она обращается в бесконечность. Фактически она бесконечна ровно настолько, чтобы площадь под d(x) была равна 1. Грубо говоря, эта функция отлична от нуля на бесконечно малом интервале ε, но на этом интервале имеет значение 1/ε. Таким образом, площадь под ней равна 1, и, что важнее, она удовлетворяет уравнению (8.4). Функция

достаточно хорошо аппроксимирует дельта-функцию при очень больших значениях n. На рис. 8.1 показана эта оптимизация при увеличивающихся значениях n. Несмотря на то что мы остановились на n = 10, то есть очень небольшом значении, обратите внимание, что график уже стал очень узким и резким пиком.

» Более подробно с книгой можно ознакомиться на сайте издательства» Оглавление» Отрывок

Для читателей данного блога скидка 20% по купону — Сасскинд

Автор: ph_piter

Источник

www.pvsm.ru

Книга "Квантовая механика. Учебное пособие"

Добавить
  • Читаю
  • Хочу прочитать
  • Прочитал

Оцените книгу

Скачать книгу

19 скачиваний

Читать онлайн

О книге "Квантовая механика. Учебное пособие"

Учебное пособие предназначено для подготовки специалистов в области наукоемких технологий, связанных с квантовой физикой микромира, в частности, для подготовки студентов по направлению «Наноматериалы и нанотехнологии». В книге подробно изложены основные виды формализма квантовой механики, включая операторную алгебру, матричную механику и скобочный аппарат Дирака. Значительное внимание уделено приближенным квантово-механическим методам, широко применяемым в квантовой химии. В соответствии с требованиями новых образовательных стандартов в книгу включены элементы развивающегося направления квантовой механики, а именно квантовой теории кубитов, которое связано с проектированием и созданием в будущем квантовых компьютеров. Достаточное место отведено технике конкретных квантово-механических вычислений. Учебное пособие сочетает строгое изложение фундаментальных основ теории с рассмотрением современных задач, требующих квантово-механического подхода. Для студентов и аспирантов высших технических учебных заведений, а также преподавателей физики и других естественно-научных дисциплин в технических вузах.

На нашем сайте вы можете скачать книгу "Квантовая механика. Учебное пособие" В. М. Кузнецов бесплатно и без регистрации в формате fb2, rtf, epub, pdf, txt, читать книгу онлайн или купить книгу в интернет-магазине.

Отзывы читателей

Подборки книг

Похожие книги

Другие книги автора

Информация обновлена: 31.07.2017

avidreaders.ru